Фамилия Климейко — яркий пример украинской модели образования фамилий с суффиксом -ейко. Этот суффикс характерен для белорусской и украинской ономастики, особенно для фамилий, возникших на территории нынешней Гомельской, Могилёвской, Черниговской и Киевской областей. Он выполнял ту же роль, что и русский -ов/-ев: указывал на принадлежность — буквально «чей?» — и закреплял прозвище или имя за потомками.

Основа фамилии — каноническое крестильное имя Климент (от латинского clemens — «милостивый», «снисходительный»). В народной речи это имя приобрело множество сокращённых и уменьшительных форм: Клим, Клима, Клименко, Климей. Фамилия Климейко образована от одной из таких форм — Климей (с суффиксом -ей, передающим ласкательный или уменьшительный оттенок). Соответственно, Климейко — это «сын или потомок Климея», то есть человека, которого в быту называли ласково Климей.

Другие версии происхождения менее убедительны. Иногда Климейко выводят из прозвища Климей, якобы связанного с диалектным словом «климать» (кричать, звать), но для этого нет надёжных лингвистических оснований. Имя Климент и его варианты — самый прямой и подтверждённый источник.

Географически фамилия Климейко тяготеет к западу и центру современной Украины, а также к юго-западу Беларуси. Встречается она и в России, но почти всегда в областях, граничащих с Украиной, или среди потомков переселенцев из Малороссии. В дореволюционных документах носители фамилии числились в основном среди крестьян и казаков — в реестрах Запорожского войска и в метрических книгах Черниговской губернии.

С точки зрения словообразования фамилия Климейко стоит в одном ряду с такими украинскими фамилиями, как Андрейко, Матвейко, Демейко. Все они указывают на происхождение от отца по его уменьшительному имени. Если ваш предок носил фамилию Климейко, то, скорее всего, его деда или отца звали Клим, а в быту — ласково Климей.