Фамилия Клымейко звучит на украинский лад, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Формант -ейко (или -енко в более привычном написании) — один из самых характерных для украинской ономастики. Он указывал на сына или потомка человека, чьё имя или прозвище легло в основу. То есть Клымейко — это буквально «маленький Клым» или «сын Клыма». В русской традиции такие фамилии часто адаптировали, меняя суффикс на -ов/-ев, но здесь он сохранился в исходном виде, что говорит о южном или западном происхождении рода.

Основа «Клым» — это народная, диалектная форма канонического имени Клим (Климент). В православных святцах имя Климент означает «милостивый» (от латинского clemens). Однако в украинской и белорусской среде имя нередко произносили с твёрдым «ы»: Клым, Клыментий. Так что фамилия Клымейко — это патроним, образованный от разговорного варианта крестильного имени. Предок носителя фамилии, скорее всего, был Клымом, а его дети и внуки стали Клымейками.

С географической точки зрения фамилия тяготеет к территориям исторической Черниговщины, Полтавщины и Гомельщины. В этих регионах фамилии на -ейко встречаются особенно часто. Сословно это, вероятнее всего, казацкая или крестьянская фамилия: в реестрах Войска Запорожского и в метрических книгах центральной Украины подобные патронимы были массовыми. Дворянских родов с таким окончанием почти не бывает — их фамилии обычно оформлялись на -ский/-цкий.

Любопытная деталь: написание через «ы» (Клымейко, а не Климейко) — это не ошибка, а отражение реального произношения в тех говорах, где «и» переходило в твёрдый «ы» после заднеязычных. В современных документах можно встретить оба варианта, но исходная форма именно с «ы» — она фиксирует старую фонетику. Если ваш предок записан как Клымейко, это надёжная примета, что корни фамилии уходят в украинское левобережье или белорусское Полесье, где такое произношение было нормой.