Фамилия Кляженко звучит на украинский лад — суффикс -енко указывает на происхождение с территории современной Украины или юга России. В XVII–XIX веках такие фамилии означали «маленький», «сын» или «потомок» человека, чьё имя или прозвище легло в основу. Основа здесь — Кляжен-.

Самый вероятный источник — прозвище Кляга. В южнорусских и украинских говорах клягой называли деревянную флягу, бочонок для воды или вина. Человек, получивший такое прозвище, мог быть бондарем, торговцем жидкостями или просто иметь привычку носить с собой флягу. Суффикс -ен(о) в прозвище Кляженко мог означать «тот, кто имеет отношение к кляге» — например, сын бондаря или человек, похожий на клягу (полный, приземистый). Со временем прозвище закрепилось как фамилия.

Другая версия, менее очевидная: основа могла произойти от глагола «клясть» (проклинать) или «кляться» (божиться). В таком случае Кляженко — потомок человека, которого прозвали Клятый (проклятый) или Клящий (склонный к божбе). Но эта гипотеза слабая: суффикс -енко редко присоединяли к причастиям, а форма Кляжен- выглядит как отглагольное прилагательное, что для прозвищ нетипично.

Фамилия редкая, в современных справочниках почти не встречается. Основной ареал — центральная и восточная Украина (Полтавщина, Черниговщина) и юг России. В XIX веке носители Кляженко чаще всего были крестьянами или казаками. Никакой известной дворянской ветви у фамилии нет — это типичная фамилия простого человека, за которой стоит бытовое прозвище, а не аристократическая история.