Фамилия Клющинская — женская форма от Клющинский, и её разумнее всего рассматривать именно в мужском варианте, чтобы понять корень. Перед нами типичная фамилия польского или западнорусского происхождения, образованная по модели с суффиксом -ский/-цкий. Такие фамилии в Польше и на землях бывшей Речи Посполитой (Белоруссия, Украина, западные губернии России) носили в основном шляхта и духовенство, хотя со временем они распространились и среди крестьян.

Основа фамилии — «Клющ» или «Клюща». Здесь возможны два объяснения. Первое: прозвище Клющ могло произойти от диалектного слова «клющ» — так в некоторых славянских говорах называли клеща (насекомое) или, реже, птицу клеста. Прозвища от названий насекомых и птиц были распространены: они давались человеку по внешности, характеру или манере поведения (например, назойливый, цепкий, крикливый). Второе, более вероятное объяснение — топонимическое. Фамилия Клющинский могла возникнуть от названия населённого пункта вроде Клющи, Клющино, Клющево. Такие деревни есть в Польше и на западе Беларуси. В этом случае предок получил фамилию по месту, откуда был родом: «из Клющ» или «из Клющина».

Обратите внимание на окончание -инская. Суффикс -ин- в сочетании с -ск- указывает на принадлежность к чему-то, названному словом с основой на -ин: например, Клющино → Клющинский. Это типичная модель для фамилий, образованных от названий деревень на -ино, -ино. Если бы основа была чисто польской, скорее было бы Клющовский (от Клющово). Вариант Клющинский чаще встречается в восточных регионах бывшей Речи Посполитой, где смешивались польская и восточнославянская традиции.

Таким образом, носитель фамилии Клющинский (а Клющинская — его жена или дочь) — вероятный потомок либо мелкого шляхтича, либо крестьянина, переселившегося из деревни Клющи (или Клющино). Прямой связи с конкретным ремеслом или профессией у этой фамилии нет, но её география указывает на западные области современной Украины или Беларуси.