Фамилия Клювак звучит необычно для русского уха, и за ней стоит либо прозвище, либо древнее мирское имя. В её основе лежит украинское диалектное слово «клювак» — так в народе называли дятла. Птицу выделял длинный и сильный клюв, которым она долбит кору в поисках пищи. Если имя давали младенцу по древней славянской традиции, то родители хотели, чтобы ребёнок перенял от дятла его стойкость и трудолюбие, а сама природа воспринимала бы его как «своего».

Есть и более приземлённая версия: прозвище Клювак могли дать взрослому человеку с крупным, заметным носом. Такая модель прозвищ — по схожести с птицей или её частью тела — встречается у многих народов, и для украинской языковой среды она совершенно естественна.

Фамилия образована без типичных русских суффиксов -ов или -ин, что характерно для украинской ономастики: здесь основой стало само прозвище, перешедшее напрямую в фамилию. Встречается она в документах. Например, в Книге памяти Ставропольского края упомянут Прокофий Яковлевич Клювак, 1909 года рождения, уроженец села Соболевки Киевской области.

Таким образом, фамилия Клювак может указывать на украинские корни предков и, скорее всего, была связана либо с прозвищем по внешности, либо с пожеланием ребёнку качеств лесной птицы — выносливости и умения добывать своё.