Фамилия Кобыжская — женская форма от Кобыжский, и её разумнее рассматривать в паре. Сразу бросается в глаза суффикс -ск-, типичный для польской, украинской и русской шляхетской (дворянской) ономастики. Такие фамилии образовывались от названий населённых пунктов: владелец поместья или выходец из села получал прозвание по месту. Искать нужно топоним Кобыж, Кобыжа или Кобыжье.

География подсказывает конкретное место. В Черниговской области Украины есть село Кобыжча (исторически — Кобыж, Кобыжье), известное с XVII века. От него и пошла фамилия Кобыжский — её мог носить как местный пан, так и крестьянин, переселившийся в другую волость и записанный по родному селу. В польских метриках встречается вариант Kobyski, что подтверждает западнорусские корни.

Основа фамилии — «кобыла», но не в прямом, бытовом значении. В древнерусской антропонимике Кобыла — не прозвище лошади, а личное имя-оберег. Известен боярин Андрей Кобыла, живший в XIV веке и ставший родоначальником Романовых, Шереметевых и других дворянских родов. Его потомки носили фамилию Кобылины, а топоним Кобыжье мог возникнуть от владений человека с таким именем. Таким образом, Кобыжская — не про коня, а про древнее славянское имя, которое со временем закрепилось за местностью.

Словообразовательная модель проста: топоним Кобыж (с суффиксом -j- для обозначения принадлежности) + -ск- (притяжательный суффикс) + окончание. Ударение в фамилии плавающее: в русской среде чаще Кобы́жская, в украинской — Коби́жська, с ударением на второй слог. Разница выдает региональное происхождение носителя.

Если ваши предки — Кобыжские, ищите их корни на левобережье Днепра, в бывшей Черниговской губернии или на соседних землях Речи Посполитой. Среди носителей фамилии были как мелкопоместные дворяне, упомянутые в родословных книгах, так и казаки, бравшие фамилию по месту службы или рождения. Фамилия нечастая, но устойчивая — её не переделали в Кобылину или Кобылкину, сохранив прямую связь с географией.