Фамилия Коньживой — редкий случай, когда прозвище сохранилось в застывшей глагольной форме. В её основе лежит повелительное наклонение: «конь живой». В старину так могли окликнуть возчика, конюха или торговца лошадьми, приказывая ему подать живого коня, а не, скажем, мерина под седло. Но скорее всего, прозвище закрепилось за человеком, который постоянно покрикивал эту фразу — либо по долгу службы, либо как характерную присказку.

Словообразовательная модель здесь архаичная и редкая. Фамилии на -ой в форме глагольного императива встречаются в основном в южнорусских и украинских говорах (сравните: Убейвовка, Держикрай). В русской ономастике такие фамилии — штучный товар, и Коньживой — один из таких образцов. Суффикса -ов или -ин нет, основа законсервировала целую фразу, что указывает на прямое прозвище, а не на отчество от имени.

Географически фамилия тяготеет к казачьим областям — Дон, Кубань, Запорожье. Там бытовали прозвища, отражавшие резкость и образность речи: «Коньживой» звучит как команда или поговорка. В переписях XIX века такая фамилия могла фиксироваться с искажениями: Конживой, Конь-Живой, а то и Каньживой — из-за аканья и неграмотности писарей.

Версия о происхождении от тюркского «конь» (день, солнце) и славянского «живой» несостоятельна: фамилия слишком поздняя для таких гибридов, и прозвище прозрачно читается по-русски. Также маловероятна связь с «конюшней» или «коновалом» — прозвище не указывает на профессию, а скорее на речевую привычку.

Если ваши предки носили фамилию Коньживой, скорее всего, они происходили из среды служилых людей или крестьян юга России, где меткое слово могло стать родовым именем на века.