Фамилия Кукояжный — один из тех случаев, когда с первого взгляда понятна модель, но неясна основа. Это типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «топоним + суффикс -ский/-цкий», которая в XIX веке активно присваивалась выпускникам духовных семинарий. Выходец из села или местечка с названием Кукоя, Кукояны или Кукояж получал фамилию Кукояжский, а на русской почве «ж» перед суффиксом дало привычное звучание «Кукояжный».

Разбираем корень. В основе лежит, скорее всего, тюркское или смешанное слово. Легче всего предположить украинское или южнорусское диалектное «кукуй» (кулик, птица) или «кука» (горе, беда, но чаще — крюк, изгиб). Если брать версию с «кукоя» — это могло быть прозвище реки или оврага: «кука» (крюк) + «я» (вода, река по-тюркски) — то есть «извилистая речка». От такого гидронима и пошло название села. Вторая версия — от прозвища человека «Кукоя», которое могло означать «горюн» или «плакса» (от «кукать» — плакать, горевать), но для фамилии на -ский это менее характерно: такие прозвища обычно давали суффикс -ов или -ин.

География фамилии узкая. Основной ареал — юг России и восток Украины (бывшая Екатеринославская губерния, Харьковщина, Донбасс). Там действительно есть топонимы Кукояны, Кукояровка. Семинаристы из этих мест, получая фамилию по родному селу, и разнесли её по приходам. В центральной России и Сибири фамилия редкая, встречается единично.

Социальный портрет носителя в XIX веке — почти всегда священник, дьякон или псаломщик. Это не крестьянская фамилия, а искусственная, книжная. Если ваш предок — Кукояжный, с высокой вероятностью он был выпускником духовного училища или семинарии, а его отец — либо священником, либо дьячком. Именно поэтому фамилия сохранила «книжное» окончание -ый, а не бытовое -ой (как было бы в крестьянской среде: Кукояжной).