Фамилия Кулючкин образована по продуктивной модели с суффиксом -ин, который в русском языке указывает на принадлежность: «чей?» — Кулючкин, то есть сын или потомок Кулючки. Основа здесь — прозвище Кулючка, а оно, в свою очередь, восходит к слову «кулюка» или «кулёк».

Самый прямой смысл — от слова «кулёк» (небольшой мешок, свёрток). В диалектах «кулюка» могло означать не просто мешок, а нечто скомканное, скрюченное или сгорбленное. В этом случае прозвище Кулючка давали человеку с характерной осанкой — сутулому, сгорбленному, будто он постоянно несёт тяжёлую ношу. Возможно, так называли и того, кто ходил с котомкой, нищего или странника.

Есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «кулюкать» значит «куковать», то есть издавать звук кукушки. Прозвище Кулючка мог получить человек, который подражал птице, либо тот, кто, как кукушка, вёл одинокий образ жизни, не имел постоянного дома. Однако эта версия менее распространена, так как связь «кулюка — куковать» не прослеживается во всех регионах.

Встречаются и схожие фамилии — Кулюков, Кулёмин, Кулечкин. Они образованы от тех же корней, но с разными суффиксами. Кулючкин — более редкий вариант, что может указывать на локальное бытование прозвища в какой-то одной местности, вероятнее всего, в центральных или северо-западных губерниях России, где слово «кулюка» фиксируется в словарях народных говоров.

Сословных данных по фамилии Кулючкин нет, и это типично для фамилий, образованных от прозвищ, а не от имён святых или профессий. Носители могли быть как крестьянами, так и посадскими людьми. В документах эта фамилия встречается нечасто, что говорит о её сравнительной редкости.