Фамилия Кувтырев образована по стандартной для русских фамилий модели: к основе, в данном случае прозвищу Кувтырь, добавили притяжательный суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей сын?» — Кувтырев). Гораздо любопытнее сама основа — слово «кувтырь», которое в русских говорах почти не встречается и звучит архаично.

Скорее всего, прозвище Кувтырь связано с диалектным глаголом «кувтырять» или «кувыркать». В говорах Вологодской, Архангельской и некоторых других северных областей «кувтырять» означало переворачивать, опрокидывать, кувыркаться. Человек, получивший такое прозвище, мог быть неуклюжим, падать на ходу, кувыркаться, или, напротив, заниматься делом, где приходилось что-то переворачивать — например, бортничеством (переворачивать колоды) или извозом (опрокидывать возы). Есть и версия, что «кувтырь» — это искажённое «кувырк», звукоподражательное прозвище для непоседливого ребёнка.

В ономастике иногда встречают вариант, что Кувтырь — это прозвище от названия сосуда (кувшин, кубышка), но это маловероятно: слово «кувтырь» в значении посуды не зафиксировано в словарях русских говоров. Более надёжная версия — связь с глаголом движения.

Интересно, что фамилия имеет ярко выраженную северную привязку. По данным переписей и метрических книг, Кувтыревы исторически жили в Вологодской губернии, особенно в Тотемском и Вельском уездах. Оттуда фамилия распространилась в Сибирь и на Урал. Это типичная «географическая» фамилия: её носители — потомки крестьян или посадских людей Русского Севера, а не дворянского сословия. Встречается она нечасто, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска — если вы Кувтырев, ваши корни почти наверняка ведут в северные русские земли.