Фамилия Квилинская — женская форма фамилии Квилинский, а та, в свою очередь, принадлежит к распространённому типу польских и западнорусских фамилий с суффиксом -ский/-цкий. Этот суффикс указывал на дворянское происхождение или на связь с географическим названием: такую фамилию получал владелец поместья, а затем и его потомки. Поэтому первый и самый вероятный вариант происхождения — топонимический.

Основа «Квилин-» восходит к названию населённого пункта. В Польше и на западе современной Беларуси встречаются деревни и урочища с корнем «Квил» или «Квиль» (например, Квилино, Квилово). Само слово «квиль» в польских говорах могло означать «крик, плач» или относиться к растению (к примеру, так называли камыш). Вполне возможно, что первопредок Квилинских был выходцем из места, где водилось много камыша, или же название деревни произошло от прозвища первого поселенца — Квила, то есть плакса или крикливый человек.

Есть и вторая, менее распространённая версия: фамилия могла возникнуть как семинарская. В духовных училищах Российской империи ученикам нередко давали «красивые» фамилии от латинских или греческих корней. Слово «квилис» (quilis) по-латыни означает «какой, какого рода», но это натяжка — прямых свидетельств такой этимологии для Квилинских нет. Гораздо надёжнее держаться за географическую привязку.

По сословному составу носители фамилии Квилинский/Квилинская встречаются среди мелкопоместной шляхты на землях бывшего Великого княжества Литовского, а также среди крестьян и мещан, получивших фамилию по названию родной деревни после отмены крепостного права. В современной России фамилия редкая, сконцентрирована в основном в западных областях, граничащих с Беларусью.

Что касается ударения, то в русском языке оно чаще падает на второй слог — Кви́линская, хотя в польском варианте возможен акцент на предпоследний слог: Квили́нская. Если ваши предки происходят из Польши, стоит учитывать второй вариант.