Фамилия Лабыч — редкий случай, когда суффикс подсказывает географию точнее, чем корень. Окончание -ыч — это не украинское -ич и не белорусское -іч, а северо-западный русский вариант, типичный для псковских и новгородских говоров. В этих краях отчества на -ыч (Лабыч, Кузьмич, Никитыч) закрепились как фамилии раньше, чем в центральной России, и без перехода в -ов. Поэтому первый вывод: предки Лабыча, скорее всего, жили на стыке современных Псковской, Новгородской и Тверской областей.

Корень «Лаб-» неочевиден. Самая прямая версия — от прозвища Лаба. В северо-западных диалектах «лаба» — это не только музыкальный инструмент (сокращение от контрабаса), но и неуклюжий, медлительный человек, иногда — простофиля. Слово живёт в псковских говорах до сих пор. Менее вероятно, но возможно, что основа восходит к литовскому «laba» — хороший, добрый: на Псковщине и в бывшей Витебской губернии балтские следы в фамилиях не редкость. Третья версия — отчество от канонического имени Варлаам (в просторечии Варлаам → Лаба), но это спорно: форма Лабыч тогда означала бы «сын Лабы», а Варлаам даёт скорее Варламыч или Ламыч.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Лабин, Лабков, Лабутин) показывает, что Лабыч стоит особняком: у неё нет суффикса принадлежности -ов/-ин, она сохранила форму отчества. Это говорит о том, что фамилия закрепилась в крестьянской среде, где патроним на -ыч не переделывали под московскую моду. Сословно — почти наверняка не дворянская: дворяне редко носили фамилии на -ыч, это маркер простонародья, особенно в северных уездах.

Встречаемость фамилии сегодня крайне низкая. Основной ареал — Псковская область и прилегающие районы Беларуси (Витебщина), что подтверждает диалектную версию. Если вы Лабыч, ваши предки, вероятно, были крестьянами-старожилами из-под Пскова или Опочки, и фамилия не меняла формы с XVI–XVII века.