Фамилия Лагащкин — редкий случай, когда суффикс -ин указывает не на отчество от крестильного имени, а на прозвище, связанное с диалектной лексикой. Основа здесь — «лага́ш» или «лага́шка». В северных и сибирских говорах так называли неуклюжего, нерасторопного человека, увальня. Слово образовано от глагола «лагать» — падать, валиться с шумом, или от «лагаться» — биться, возиться. Соответственно, Лагащкин — это «сын (или потомок) Лагашки», то есть человека, получившего такое прозвище за медлительность или неловкость.

Суффикс -ин в русских фамилиях традиционно указывает на принадлежность: «чей?» — Лагащкин, то есть «из семьи Лагашки». Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Лага́шкин. Важно не путать эту фамилию с похожей по звучанию «Логошкин» (от «логош» — лакомка) — корни разные, и география бытования не пересекается.

Географически фамилия тяготеет к северо-востоку европейской части России. В переписных книгах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне с прозвищем Лагаш в Вятской и Пермской губерниях. Именно из этих мест, вероятно, и пошли Лагащкины. Сословно — почти наверняка крестьянский род, без дворянских корней: фамилия образована от простонародного прозвища, а не от имени святого или географического названия.

Интересная деталь: несмотря на редкое звучание, фамилия не искажена при переносе в письменную речь. В ней нет чередования согласных (как, например, в фамилии «Ложкин» от «ложка»), что говорит о том, что прозвище Лагаш бытовало именно в форме с «г», а не с «ж». Это дополнительно подтверждает её северное происхождение — в тех говорах звук [г] произносился твёрдо, без смягчения.