Фамилия Лакоьый — редкий случай, где написание почти наверняка искажено. В русском языке нет суффикса «-ьый», а конечное сочетание «-ьый» — орфографическая ошибка или опечатка, возникшая при записи фамилии в паспортном столе или при переносе в цифровой реестр. Истинная форма, скорее всего, Лаковой или Лаковый. Именно её и стоит разбирать.

Основа фамилии — «лак». Слово «лак» пришло в русский язык из немецкого (Lack) или через польское посредничество, а в конечном счёте восходит к арабскому lakk. В России слово закрепилось в двух значениях: раствор для покрытия (лакировка мебели, посуды) и, реже, красная краска, которую добывали из особых червецов.

Фамилия Лаковой (Лаковый) — типичная профессиональная. Она указывает на ремесло предка. Лаковщик — тот, кто покрывал лаком деревянные изделия: сундуки, подносы, иконы, мебель. В XVIII–XIX веках лаковое ремесло было особенно развито в среде крестьян-отходников из Ярославской, Тверской и Нижегородской губерний. Знаменитые лаковые миниатюры Палеха, Холуя, Мстёры и Федоскина — прямое продолжение этого промысла. Предок носителя фамилии вполне мог быть мастером из этих мест.

Модель образования проста: основа «лак» плюс суффикс -ов- (или -ев-), указывающий на принадлежность. Лаковой — сын лаковщика или человек, работающий с лаком. Окончание -ой в старой русской орфографии было нормой для прилагательных с ударением на последний слог (как «большой», «золотой»). В современном написании фамилия могла бы выглядеть как Лаков.

Искажение «Лакоьый» не меняет сути, но говорит о том, что фамилия, вероятно, бытует в среде, где письменная фиксация была небрежной, а устное произношение — «Лаковой» — записали на слух с ошибкой. Поиск в архивах стоит вести по двум вариантам: Лаковой и Лаков. Никакой другой, более экзотической этимологии (например, от слова «лакей» или тюркских корней) для этой формы не просматривается — основа лежит на поверхности.