Фамилия Лапийкий — редкий случай, когда написание подсказывает больше, чем произношение. Скорее всего, перед нами вариант фамилии Лапицкий, где «ц» перешло в «й» под влиянием белорусского или украинского произношения (так называемое «цоканье» или «дзеканье»). В письменных источниках XIX — начала XX века, когда фамилии записывали со слов, такое смешение было обычным делом: писарь мог передать мягкое «ц» как «й», особенно если носитель говорил на местном говоре.

Основа фамилии — прозвище Лапа. В старину так могли назвать человека с большими или необычными руками, либо того, кто ходил враскорячку, «лаписто». Второй вариант: прозвище от глагола «лапать» — хватать, трогать, то есть человек не в меру приставучий или, наоборот, ловкий. Суффикс -ицк- (в исходной форме Лапицкий) типичен для западнорусских и польских земель. Он образовывал фамилии по модели «чей?»: Лапицкий — сын или потомок Лапы. В польской традиции такая фамилия могла означать и принадлежность к имению или хутору Лапы (если такое село существовало).

Географически фамилия Лапийкий (и её исходник Лапицкий) тяготеет к западным областям: Гродненщина, Брестчина, а также к югу Псковской области. Встречается и среди белорусской шляхты, но чаще — среди крестьян и мещан, где прозвища не были закреплены за сословием.

Спорный момент: существует версия, что фамилия произошла от слова «лапий» — так в некоторых говорах называли лоскутника или портного, работавшего с заплатками. Но эта гипотеза слабая: слово «лапий» не зафиксировано в словарях как распространённое прозвище, а суффикс -ийк- для русского языка нетипичен. Правдоподобнее держаться версии с «Лапой» и последующей фонетической заменой.

В итоге: носитель фамилии Лапийкий, скорее всего, потомок человека, которого в Западной Руси или Польше прозвали Лапой — за руки, походку или привычку. Современное написание с «й» — не ошибка, а живое свидетельство того, как фамилия звучала в устной речи её первых обладателей.