Фамилия Лащагин — редкий случай, когда основа слова не даёт однозначной подсказки, а заставляет перебирать диалектные и забытые значения. Внешне она выглядит как типичная «-ин» фамилия, образованная от прозвища или имени на -а/-я, но вот от какого именно — вопрос.

Самый прямой путь: в основе лежит слово «лащага» или «лащаг». В русских говорах, особенно северных и вологодских, «ласкать» означало не только нежность, но и льстить, угождать, подлизываться. Отсюда «лаща» — льстец, подхалим. Суффикс -аг-/-яг- в прозвищах давал оттенок носителя признака (сравните «бродяга», «растяпа», «деляга»). То есть «Лащага» — человек, который любит ластиться, льстить, или, наоборот, тот, кого ласкают, холят (второй вариант менее вероятен для прозвища). Тогда Лащагин — сын Лащаги.

Есть и менее очевидная версия, связанная с географией. В псковских и тверских говорах «лащаг» могли называть болотистое, топкое место, мочажину. Слово родственно «лощина» (низина) и «лащить» (выдалбливать, делать углубление). Если так, то прозвище Лащага мог получить человек, живший у такого болотца, или переселенец из местности с похожим названием. В этом случае фамилия — топонимическая, указывающая на место жительства.

Третья, совсем редкая возможность: искажение фамилии Лащагин от «Лощагин» — через акающее произношение (Лащагин вместо Лощагин). «Лощаг» или «лощага» — в старых документах встречается как вариант «лошака» или «лошади» (через чередование щ/ш). Но это уже гадание на кофейной гуще: прямых подтверждений такой перестройки нет.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: чей? — Лащагин. Такая модель была самой распространённой в Северной Руси и Поволжье, где фамилии на -ов/-ев приживались медленнее. Поэтому Лащагины, скорее всего, родом из северных или центральных областей России, а не с юга.

Сословно фамилия не маркирована: «-ин» давали и крестьянам, и посадским, и духовенству. Встретить Лащагина среди бояр или дворян XVI–XVII веков маловероятно — слишком просторечная основа. Скорее всего, предок был крестьянином или ремесленником, получившим прозвище за характер или место жительства.

Однокоренных фамилий мало: Ласкавин, Ласкавый, Лащавый — все они держатся вокруг той же темы «ласки-лести». Лащагин стоит особняком благодаря редкому суффиксу -аг-, который делает прозвище более грубым и бытовым, чем, скажем, Ласкавин.