Фамилия Лаверженцева — редкий случай, когда в основе лежит не русское слово, а французское, причём переосмысленное по законам русской народной этимологии. Носитель такой фамилии почти наверняка происходит из семьи, где предок был выходцем из Франции или имел с ней прочную связь — скорее всего, в XVIII–XIX веках.

Исходная форма — Лаверженцев. Корень восходит к французской фамилии или прозвищу La Vergne (или La Vergne, de La Vergne), что значит «ольха» или «ольховая роща». Во французской ономастике это топонимическое прозвище: человек, живший у ольховника. Но на русской почве это сочетание звуков переработали: суффикс -енц- — типичный для адаптации иностранных фамилий (сравните: Ланжерон → Ланжеронцев, Дюма → Дюмасов). А окончание -ев превратило французское прозвище в русскую патронимическую форму: «сын того, кто Лаверженец».

Интересно, что в русских говорах слово «лаверженец» не зафиксировано — это искусственное образование, калька с французского. Фамилия могла возникнуть в среде обрусевших французов (например, гувернёров, офицеров, ремесленников), которые после 1812 года остались в России. Встречается она крайне редко: по открытым данным, в России сегодня живут единицы носителей, в основном в центральных областях и на юге.

Мужской вариант Лаверженцев образован с помощью типичного суффикса -ев, указывающего на принадлежность. Женская форма Лаверженцева — стандартное склонение по падежам. Ударение, скорее всего, на втором слоге: Лаве́рженцева, хотя в разговорной речи могли смещать на третий.

В отличие от многих фамилий, где спорят о значении корня, здесь всё прозрачно: перед нами не крестьянское прозвище, а след европейской миграции. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать в архивах иностранных колонистов или списках французских подданных, принявших русское подданство.