Фамилия Лебяжьева — женская форма от Лебяжьев, и её разумнее всего рассматривать в паре. В основе лежит слово «лебяжий», то есть относящийся к лебедю. Такие фамилии обычно давали не за внешнее сходство с благородной птицей, а по месту жительства или по прозвищу, связанному с ремеслом.

Самый прямой путь — географический. По всей России разбросаны топонимы Лебяжье, Лебяжий, Лебяжьевка. Переселенцы, уходившие из таких мест, легко получали прозвище Лебяжий, а уж их дети становились Лебяжьевыми. Это типичная «фамилия-земляк», каких много: Казанцев, Москвин, Тамбовцев. В данном случае суффикс -ев указывает на принадлежность: «чей?» — «Лебяжьев», то есть сын того, кто из Лебяжьего.

Вторая версия — прозвищная, но менее вероятная. Лебяжьим могли назвать человека за белые, как лебяжий пух, волосы или за мягкий, плавный характер. Однако в русской ономастике прозвища от птиц чаще давали за крикливость (Гусев, Петухов) или за особенности охоты, а не за цвет. Лебедь в народной культуре — символ чистоты и верности, но фамилии от него встречаются реже, чем, скажем, от вороны или сокола.

Обратите внимание на суффикс -ев, а не -ов. Он ставится, когда основа оканчивается на мягкий согласный или на -й (Лебяжий → Лебяжьев). Это мелкая, но верная примета: фамилия образована от прилагательного, а не от существительного «лебедь». Если бы предка звали просто Лебедь, мы бы получили Лебедев.

Сословных границ у Лебяжьевых нет. Фамилия встречается и у крестьян (особенно в Вятской и Пермской губерниях, где много топонимов Лебяжье), и у мещан, и у священников. В духовном сословии такие фамилии давали семинаристам по месту рождения — это тоже работало.

Современное написание с двумя «ж» устойчиво, но в документах XVIII–XIX веков можно встретить варианты Лебяжов, Лебяжиев — путаница из-за неграмотного письма. Тот, кто носит фамилию Лебяжьева сегодня, с большой вероятностью происходит от предка, который жил на берегу озера или речки, названной в честь лебедей.