Фамилия Лицкая — это женская форма фамилии Лицкий, и её происхождение стоит искать не в одном корне, а в особенностях русской ономастики. В отличие от большинства фамилий на -ов/-ев, которые образуются от отчеств, фамилии на -ский/-цкий чаще всего указывают на географическое происхождение или принадлежность к определённой местности. Поэтому первая и самая вероятная версия: Лицкая — это потомок человека, который был родом из населённого пункта с названием Лицк, Лицкое или Лица. Такие топонимы встречаются в Беларуси и на западе России, например, деревня Лицк в Гродненской области. Суффикс -ск- в таких фамилиях первоначально означал «из такого-то места»: Лицкий — «тот, кто из Лицка».

Однако есть и вторая, более редкая версия. Основой могло стать прозвище Лицо — не в прямом значении «часть головы», а в переносном, диалектном. В некоторых говорах «лицо» означало «личина», «маска» или даже «облик», и такое прозвище могли дать человеку с выразительной внешностью или тому, кто любил менять обличья (например, актёру-скомороху). Но здесь важно: фамилия Лицкий/Лицкая образована по модели прилагательного, а не существительного с суффиксом принадлежности. Это значит, что прозвище Лицо давало бы форму Лицов/Лицева, а не Лицкий. Поэтому географическая версия надёжнее.

Обратите внимание на окончание -ая. В русской традиции женские фамилии на -ая — это полные прилагательные, которые склоняются по падежам (Лицкой, Лицкую). Такая форма характерна для южнорусских и украинских говоров, а также для дворянских и духовных фамилий. Если ваша фамилия пишется как Лицкая, а не Лицка (с усечением), это указывает на её книжное, «официальное» происхождение — её могли зафиксировать в документах именно как прилагательное.

В исторических источниках фамилия встречается нечасто, что говорит о её локальном бытовании. В дореволюционной России Лицкие могли быть как мещанами или крестьянами, вышедшими из деревни Лицк, так и священниками (фамилии на -ский часто давали выпускникам семинарий по названию их родного села). Точных данных о сословной принадлежности без генеалогического поиска нет, но география подсказывает: ищите корни на западе современной Беларуси или в Смоленской области.