Фамилия Лубянкина — женская форма фамилии Лубянкин, и её разбор стоит начать с суффикса. Формант -ин указывает на принадлежность: в основе лежит личное прозвище или имя предка, а сама модель означает «чей?» — то есть сын или дочь Лубянки.

Корень «луб» — один из самых прозрачных в русской ономастике. Лубом называли внутреннюю часть коры липы, из которой драли мочало, плели лапти и короба. Но прозвище Лубянка могло относиться не только к человеку, связанному с этим ремеслом. В старых говорах «лубянка» — это и лукошко из лыка, и деревянная посуда, и даже название целой слободы в Москве (Лубянка), где когда-то торговали лубяными изделиями. Так что предок Лубянкин мог быть корзинщиком, торговцем мочалом или жителем той самой местности.

Словообразовательная цепочка проста: Лубянка (прозвище или уменьшительное от Лубян) + -ин → Лубянкин. Фамилия сравнительно редкая: она не входит в списки самых частых русских фамилий, но встречается в центральных и северных регионах России, особенно в бывших новгородских и вятских землях, где лубодёрный промысел был развит веками. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» однокоренные фамилии (Лубянский, Лубянов) упоминаются как типичные для крестьянского сословия, что косвенно подтверждает ремесленное происхождение.

Интересная деталь: написание через «я» (Лубянкин) отличает эту фамилию от варианта с «е» — Лубенкин, который мог возникнуть от названия города Лубны на Украине. Но для фамилии Лубянкина связь с украинской топонимикой маловероятна: корень «луб» и суффикс -янк- типичны именно для великорусских говоров. Если ваш предок носил такую фамилию, скорее всего, он был мастеровым человеком — драл луб, плел лапти или делал короба, а может, и торговал этим товаром на городском рынке.