Фамилия Лвгошин — редкий случай, где написание, скорее всего, искажено до неузнаваемости. В русских документах и переписях фамилия с таким сочетанием согласных («лвг») не встречается в принципе. Это не опечатка, а, вероятно, результат сложной транслитерации или последовательных ошибок при переписывании из одного алфавита в другой. Первое, что приходит в голову: за «Лв» могла скрываться буква «Л» с мягким знаком или «Ль», а «гошин» — это либо вариант фамилии Гошин, либо изменённое окончание. Сравните: фамилия Льгошин или Львгошин (от имени Лев или прозвища Льгота) — это уже более осмысленная основа.

Если отбросить первую букву как возможный артефакт, остаётся основа «Гошин». Она образована от имени Гоша (разговорная форма Георгия, реже Гавриила) через притяжательный суффикс -ин. По этой модели в России тысячи фамилий: Гошин, Гошев, Гошков. Но приставка «Лв-» может указывать на иноязычное происхождение. Например, в польской или белорусской традиции фамилия могла звучать как Łgoszyn (с «л» с чертой), а при записи кириллицей «Ł» передали как «Лв». В таком случае корень «лг» — от слова «лгать» или, что правдоподобнее, от названия местности (Лготы, Лгово). В России есть топоним Льгов (Курская область), и фамилии Льгов, Льговский, Льгошин действительно существуют.

Третья версия, самая простая и часто встречающаяся в реальных архивах: фамилию могли записать на слух. В южнорусских говорах или при плохой дикции «Льгошин» легко превращается в «Лвгошин»: звук «ь» исчезает, а «л» смыкается с «г». Если ваш предок был из крестьян Курской, Орловской или Тульской губерний, скорее всего, его настоящая фамилия — Льгошин. А она, в свою очередь, восходит к прозвищу Льгота — человек, живший на льготных условиях (освобождённый от податей или повинностей), или житель села Льгово.

Таким образом, Лвгошин — это не самостоятельная фамилия с уникальным корнем, а, по всей видимости, испорченный вариант от Льгошин или Гошин. Чтобы узнать точнее, нужно смотреть на регион: если предки с юга России — ищите Льгошиных, если с центра или севера — Гошиных. В любом случае, исходное значение связано либо с именем Георгий (через Гошу), либо с понятием «льгота» — облегчение, послабление.