Фамилия Лябгаев — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её форма сразу подсказывает, что перед нами типичная русская патронимическая модель на -ев, то есть фамилия образована от имени или прозвища отца, которое заканчивалось на согласный или -й. Но вот что скрывается в основе — вопрос, требующий разбора.

Корень «лябг-» в русском языке не встречается ни в виде самостоятельного слова, ни в составе лексических гнёзд. Это наводит на мысль, что исходное прозвище могло быть заимствованным или диалектным. Наиболее вероятная версия связывает фамилию с тюркскими языками. В ряде тюркских наречий встречается слово «лябга» или близкие по звучанию варианты, означающие «лепет», «бормотание», «невнятная речь». Прозвище Лябга могли дать человеку неразговорчивому, говорящему тихо или невнятно, либо, наоборот, болтливому, «бормочущему без умолку». Суффикс -ай в основе (Лябгай) мог быть уменьшительно-ласкательным или указывать на носителя признака.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с диалектным словом «лябзить» (льстить, угодничать). В этом случае Лябгай — тот, кто льстит, подлизывается. Однако фонетически «лябга» от «лябзить» отстоит дальше, чем от тюркского заимствования.

Фамилия Лябгаев географически привязана к регионам активных русско-тюркских контактов: Поволжье, Урал, юг Сибири. Встречается она крайне редко, что говорит о её локальном происхождении, возможно, от одного прозвища, закрепившегося в конкретной семье или небольшой группе переселенцев.

С точки зрения словообразования, цепочка проста: прозвище Лябга (или Лябгай) → отчество Лябгаев сын → фамилия Лябгаев. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Лябгáев, хотя в бытовом произношении возможны варианты.

Сословная принадлежность первых носителей неясна из-за малочисленности фамилии. Судя по модели на -ев, это не дворянская фамилия (для них характерны суффиксы -ский/-цкий). Скорее всего, предки были крестьянами, однодворцами или служилыми людьми «по прибору» (казаки, стрельцы), которые несли службу на окраинах государства и контактировали с тюркским населением.

В итоге: фамилия Лябгаев, скорее всего, тюркского происхождения, образована от прозвища, характеризующего манеру речи, и закрепилась в русской среде в зоне межэтнических контактов.