Фамилия Лябгаева — редкая и неочевидная. Её основа и суффикс заставляют задуматься о происхождении, и здесь есть несколько версий, разной степени убедительности.

Словообразовательно фамилия выглядит как притяжательное прилагательное с суффиксом -ев (женская форма — -а), то есть «чей?» — Лябгаев. Значит, в основе лежит мужское прозвище или имя Лябгай. Суффикс -ай характерен для русских народных и тюркских имён и прозвищ (например, Болтай, Ковыляй, а также Багай, Толмай). Что могло означать «Лябгай»?

Самая прямая версия — от глагола «лябгать» или «ляпать». В русских говорах, особенно северных и сибирских, «лябгать» значит делать что-то небрежно, кое-как, халтурить, а также пачкать, марать. Прозвище Лябгай могли дать неаккуратному человеку, плохому работнику или тому, кто постоянно пачкался. Эта версия простая и лингвистически прозрачная.

Вторая, менее вероятная, но возможная — связь с тюркским корнем. В тюркских языках есть слово «ляб» (губа) или «лябгай» (губастый, толстогубый). В таком случае прозвище могло относиться к внешности человека. Однако для фамилии, бытующей в основном в русской среде, эта версия слабее: суффикс -ев и общая модель образования типично русские, а не тюркские. Тюркские фамилии чаще оканчиваются на -ов, но с другой основой.

Фамилия крайне редкая. В открытых источниках и базах данных (например, по переписям или телефонным справочникам) она почти не встречается, что говорит о её локальном, возможно, угасшем бытовании. Скорее всего, она возникла в среде крестьян или посадских людей в одном из регионов России, где был в ходу глагол «лябгать» — например, на севере или в Поволжье. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Таким образом, если ваш предок носил фамилию Лябгаев, он, по всей видимости, был русским крестьянином, получившим прозвище за небрежность или неаккуратность в работе. Версия с «губастым» менее правдоподобна, но полностью исключать её нельзя — для уверенности нужно знать точное место проживания носителей фамилии в прошлом.