Фамилия Лябухин — наглядный пример русского «географического» суффикса -ин, который обычно указывает на принадлежность. В отличие от более частого -ов, суффикс -ин в чистом виде присоединяется к основам на -а/-я: Лябуха → Лябухин. Значит, предка звали Лябухой. И вот тут начинается главное — что стоит за этим прозвищем.

Самая вероятная версия — диалектное слово «лябуха». В русских говорах, особенно северо-западных и новгородских, так называли неуклюжего, нерасторопного человека, иногда — простофилю или разиню. Слово того же корня, что «ляпать» (делать кое-как) и «ляпсус». Прозвище Лябуха могли дать незлобиво, по характерной медлительности или неловкости. Это типичная модель: внешняя черта или манера поведения закреплялась в фамилии.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с глаголом «лябать» (играть на музыкальном инструменте, чаще плохо). В таком случае Лябуха — прозвище незадачливого музыканта. Однако эта версия слабее: слово «лябать» фиксируется позже и имеет более узкое, жаргонное хождение, в то время как «лябуха» в значении «неуклюжий человек» встречается в диалектной лексике XIX века.

Фамилия редкая. Её география ожидаемо тяготеет к северным и центральным областям России, где диалектная основа была жива. Встречается она и в старых писцовых книгах, но массового распространения не получила — прозвище, видимо, не было поголовным. Интересно, что однокоренные фамилии (Лябин, Ляпин, Ляпунов) образованы от того же корня, но с другими суффиксами или окончаниями, что показывает, насколько разнообразно русское словообразование могло обыграть одно и то же понятие.

Социальный состав носителей, скорее всего, был крестьянским или посадским. Дворянских родов Лябухиных в гербовниках нет — это фамилия, которая осталась в низовых слоях населения, не попав в официальные родословные росписи. Поэтому, если вы ищете предков, стоит ориентироваться на крестьянские и мещанские сословия, прежде всего в Новгородской, Псковской или Тверской губерниях.