Фамилия Лянкина — это русская фамилия, образованная по самой распространённой модели: от мужской формы Лянкин через суффикс -а, указывающий на принадлежность (буквально «дочь или жена Лянкина»). В основе лежит прозвище или нецерковное имя Лянка, а оно, скорее всего, восходит к глаголу «лянкать» — в северных и сибирских говорах так говорили о человеке, который говорит невнятно, гнусаво, «тянет» слова. В диалектах Вологодской и Архангельской областей «лянка» — это ещё и кличка для козы, что могло закрепиться за человеком с упрямым или блеющим голосом.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским корнем «лянк» (слабый, хилый), который мог попасть в русские говоры через татарское влияние. Однако для фамилии, записанной как Лянкина (с ударением на первый слог), славянская диалектная основа убедительнее: географически фамилия чаще всего встречается в Поволжье и на Урале, где такие глагольные прозвища были обычны.

Интересная деталь: в отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто образовывались от полных форм крестильных имён (Иван — Иванов), Лянкина идёт от прозвища, причём с суффиксом -к-, который в русской ономастике часто придаёт оттенок уменьшительности или пренебрежения. То есть Лянка — это не просто человек с дефектом речи, а такой, кого за эту черту слегка «подкалывали» в быту. Сословных ограничений у фамилии нет: в переписях XIX века Лянкины встречаются и среди государственных крестьян, и среди мещан, но почти не фиксируются в дворянских родословных.

В написании стоит обратить внимание на один момент: в некоторых документах XIX века фамилию могли записывать как Ленкина — из-за акающего произношения (Лянка звучало как «Лёнка»). Но корень остаётся тем же, и путать с фамилией от имени Лена (Елена) не стоит: у Лянкиной другая история.