Фамилию Ляпистова мужской вариант Ляпистов — образовали от прозвища, а его источник — слово, которое в русских говорах звучало как «ляпа» или «ляпый». В словаре Владимира Даля «ляпа» — это оплеуха, затрещина, а «ляпать» значит делать кое-как, небрежно, хлопать или шлёпать. Отсюда и ядро фамилии: прозвище Ляпа или Ляпистый могли дать человеку неловкому, неуклюжему, который всё делал «ляп-ляп», то есть наспех и грязно.

Модель образования — на суффикс -ов, самый распространённый для русских фамилий. Сначала появилось прозвище Ляпистый (с суффиксом -ист-, который указывал на обладание качеством: ляпистый — «тот, кто ляпает, делает огрехи» или «получающий ляпы»). Затем от него образовали притяжательное прилагательное «Ляпистов сын», которое со временем закрепилось как фамилия. Редкость корня в том, что основа «ляп» в фамилиях встречается нечасто: есть Ляпин, Ляпкин, Ляпунов, но Ляпистов — более редкий вариант с характерным суффиксальным наращением.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России. По данным переписей и метрических книг XIX века, Ляпистовы встречались в Вологодской, Костромской и Вятской губерниях. Это регионы, где диалектное слово «ляпа» было в ходу, а прозвища по поведению и привычкам давали особенно часто. Сословно носители фамилии в основном принадлежали к крестьянам и мещанам, в редких случаях — к духовенству, но не к дворянству.

Вторая версия — связь с глаголом «ляпать» в значении «лепить из глины, мазать». В этом случае Ляпистовым могли прозвать гончара или штукатура. Однако это менее вероятно: суффикс -ист- в прозвищах чаще указывал на характер, а не на профессию. Для ремесленника скорее подошла бы фамилия Ляпкин или Ляпов.

В написании фамилии возможна путаница с Ляпищевым (от «ляпище» — место, где ляпают) или с Ляпцевым, но корень один — «ляп». В документах XIX века встречаются варианты Ляпистовъ и Ляпистова, ударение в фамилии, скорее всего, на второй слог: Ляпи́стов.