Фамилия Ляшневская — один из тех случаев, когда географическая привязка не менее важна, чем этимология корня. Суффикс «-ск-» и окончание «-ая» однозначно указывают на то, что перед нами фамилия польского или западнорусского происхождения, образованная по топонимической модели. Такие фамилии давали дворянам и шляхте, владевшим поместьем с названием Ляшнево, Ляшнев или Ляшнева. В основе названия поселения, скорее всего, лежит прозвище Лях — так на Руси называли поляков, а также жителей западных земель Речи Посполитой. Слово «лях» в древнерусском языке не несло резко негативного оттенка, это было этническое обозначение, закрепившееся за целым регионом (Волынь, Подляшье).

Фамилия Ляшневская имеет ярко выраженную женскую форму. Мужской вариант — Ляшневский. В русской традиции фамилии на «-ский/-ская» долгое время оставались привилегией дворянства и духовенства, но к XIX веку распространились и среди крестьянства западных губерний. Если ваши предки носили эту фамилию, с большой вероятностью они происходили с территории современной Беларуси, Украины или восточных воеводств Польши. Встречается фамилия и в варианте Ляшневский — без перехода в женский род, что характерно для польской письменной традиции, где окончание «-ая» не использовалось.

Сложность разбора в том, что корень «ляш-» мог относиться не только к этнониму. В некоторых говорах «ляш» — это диалектное название леща, рыбы. Но для фамилии Ляшневская версия с рыбой менее вероятна: суффикс «-нев-» типичен именно для притяжательных прилагательных от названий сел (Ляшнево — Ляшневский), а не от прозвищ, связанных с рыбой. В последнем случае скорее получилась бы фамилия Лящёв или Лещёв. Так что основная версия — шляхетская или крестьянская фамилия, закреплённая за выходцами из места, где жили «ляхи» или которое называлось в их честь.