Фамилия Ляснико — редкий случай, когда написание не совпадает с произношением. Если вы слышите «Ляснико», то на письме почти наверняка встречается вариант Ляснико́, с ударением на последний слог. Именно это ударение и выдает украинское или белорусское происхождение: в этих языках фамилии на -ко, -енко, -ук, -юк часто имеют фиксированное ударение на конце. В русском языке носители часто переносят ударение на второй слог, но исходная форма — Ляснико́.

Основа фамилии — Лясник. В южнорусских и украинских говорах «лясник» означало «лесник». Это не ошибка и не искажение: в украинском языке чередование е/я (лес — ля́с) встречается в диалектах. Человек по прозвищу Лясник, скорее всего, служил лесным сторожем, занимался рубкой или охраной леса. Суффикс -ник в таком прозвище указывает на профессию или занятие, как у Плотник, Охотник, Рыбник.

Фамилия образована по типичной украинско-белорусской модели: к основе Лясник- добавили суффикс -о, который в этих языках выполняет роль патронимического окончания (сын Лясника). В русской традиции аналогичную роль играют суффиксы -ов/-ев, -ин. Поэтому Ляснико — это не просто «лесник», а «потомок лесника». Такой способ словообразования особенно характерен для Левобережной Украины, Полтавщины, Черниговщины, а также юга Беларуси.

Встречаются и единичные варианты Лясников — это уже русифицированная форма, где украинское окончание -о заменили на русское -ов. Но исходная, диалектная форма осталась именно Ляснико. Если ваши предки носили эту фамилию, то с большой вероятностью они происходят из регионов, где лесное хозяйство было основным промыслом: Полесье, Черниговская или Киевская губернии.

Других версий происхождения у этой фамилии нет. Корень «ляс-» в значении «лес» не имеет отношения к словам «лясы» (балясины) или «ляскать» (хлопать). Это чисто географическая и профессиональная фамилия, которая прямо говорит о роде занятий предка.