Фамилия Люликова — женская форма, мужская соответственно Люликов. В её основе лежит прозвище или неканоническое имя Люлик, а тот корень, который слышится в начале, — один из самых спорных в русской ономастике.

Самый прямой путь — от слова «люлька» (колыбель, люлька для ребёнка). В русских говорах «люлюкать» означало баюкать, укачивать. Тогда Люлик — человек, связанный с этим действием: нянька, пестун, либо же тот, кто мастерил люльки. Модель образования проста: суффикс -ик придаёт прозвищу уменьшительный или бытовой оттенок, а затем фамильный суффикс -ов/-ев формирует фамилию по отцу: «сын Люлика».

Вторая версия ведёт к глаголу «люлить» — в некоторых диалектах так говорили о тихой, вкрадчивой речи или, наоборот, о пении колыбельных. Возможна и связь с «люлькой» в значении «трубка для курения» — такое прозвище мог получить курильщик.

Третья, более экзотическая, гипотеза — от тюркского «люля» (трубка, ствол) или от имени Люля, которое встречается у народов Кавказа и Поволжья. Но для центральной России это маловероятно: фамилия Люликов и её варианты фиксируются в основном в северных и вологодских архивах, где тюркское влияние минимально.

В ономастическом словаре Б. Унбегауна фамилия не выделяется как отдельная статья, но по модели она типична для прозвищ, образованных от названий предметов быта. Сравните с фамилиями Люлькин, Люлько, Люлечников — все они одного гнезда.

Географически Люликовы встречаются в Вологодской, Кировской и Архангельской областях. Если ваши предки оттуда, скорее всего, прозвище Люлик дали человеку, который убаюкивал детей или делал колыбели — ремесло в крестьянской среде уважаемое и востребованное.