Фамилия Лютви — редкий случай, когда корень не бросается в глаза и не лежит на поверхности. С первого взгляда хочется связать её с русским прилагательным «лютый» (свирепый, злой), но это было бы слишком прямолинейно и, скорее всего, ошибочно. В русской ономастике фамилии с основой «Лют-» действительно существуют (Лютов, Лютый), но суффикс -ви для русской модели нетипичен. Он указывает на другое, нерусское происхождение.

Вероятнее всего, Лютви — это фамилия тюркского или арабского корня, адаптированная к русскому звучанию. Её можно возвести к имени Лютфи (Лютфу), которое в переводе с арабского означает «доброта», «благосклонность», «милость». В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) это имя распространено, а на русской почве конечное «и» могло закрепиться как неизменяемый суффикс, а само имя превратиться в фамилию без дополнительных русских окончаний вроде -ов или -ин. Такое явление встречается у фамилий, которые оформились в среде крещёных татар или в регионах с сильным тюркским влиянием (Поволжье, Приуралье).

Вторая, менее вероятная версия — связь с литовским или белорусским корнем. В литовском есть слово «liūtas» (лев) и производные от него, а суффикс -ви характерен для некоторых балтийских фамилий. Однако для такой гипотезы нет убедительных доказательств, и она уступает тюркской по распространённости и логике словообразования.

Что касается социального контекста: носители фамилии Лютви, скорее всего, происходят из мещанских или крестьянских кругов татарского или башкирского происхождения. Фамилия не дворянская, не купеческая и не встречается в старых родословных книгах. Встречается она крайне редко, в основном в Татарстане, Башкортостане и среди выходцев из этих регионов в других частях России. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их в метрических книгах мусульманских приходов или в ревизских сказках по Казанской и Уфимской губерниям.