Фамилия Максейкин — из числа тех, что сразу выдают своё происхождение: это типичная русская «фамилия-отчество», образованная от имени или прозвища с помощью суффикса -ин. В данном случае основа — Максейка, народная форма крестильного имени Максим.

Имя Максим пришло на Русь из латыни (maximus — «величайший») и было очень популярно в среде простых людей. В быту его часто «сокращали»: Максимка, Максейка, Макся. Форма Максейка — одна из самых характерных для северных и центральных говоров, где -ей- в суффиксе встречается чаще, чем в южнорусских областях. Так что географически фамилия Максейкин скорее всего зародилась где-то в Поволжье, на Вятке или в Архангельской губернии.

Словообразовательная модель проста: от отчества «Максейкин сын» закрепилась фамилия для всей семьи. Суффикс -ин указывает на принадлежность: чей? — Максейкин, то есть сын Максейки. Это одна из древнейших русских патронимических моделей, известная с XV века.

Интересная деталь: фамилия Максейкин редкая, её почти нет в дворянских родословных книгах. Это значит, что предки носителя были скорее всего крестьянами или посадскими людьми. В XIX веке такие фамилии часто фиксировались в метрических книгах как «Максейкин» или «Максейкины» без вариантов — в отличие от более распространённых Максимовых, которые могли писаться через -ов.

Если сравнивать с однокоренными, то Максейкин стоит особняком: Максимов — самая частая форма, Максимкин — тоже встречается, а вот с -ей- в основе — редкий случай. Это говорит о том, что фамилия не «выравнивалась» под литературную норму, а сохранила живую диалектную черту произношения. В некоторых говорах, кстати, «Максейка» могло быть не только уменьшительным от Максима, но и самостоятельным прозвищем — например, для человека, который любил повторять «мак сей» (шутливое переосмысление), но это уже народная этимология, а не научная версия.