Фамилия Медюта — редкий случай, когда прозвище, скорее всего, дали не за внешность или ремесло, а за манеру говорить. В её основе лежит глагол «медюкать» или «медючить», который в южнорусских и белорусских говорах означал «говорить медленно, протяжно, невнятно» или «мямлить». Человек, который тянул слова, мог получить прозвище Медюта, и оно закрепилось за его потомками.

Словообразовательная модель здесь необычная. Суффикс -ут(а) встречается в русских фамилиях редко, чаще в украинских и белорусских. Он образует прозвища по действию: как «глот» от «глотать» или «сопля» от «сопеть», так и «медюта» — от «медюкать». То есть фамилия не от имени, не от профессии, а от характерного речевого дефекта или привычки. Это делает её ценной для ономастики: такие прозвища фиксируют живую народную речь, которая почти не сохранилась в письменных источниках.

Географически фамилия тяготеет к западным областям России, а также к Беларуси и Украине. Встречается она в основном в Брянской, Смоленской и Псковской областях, реже — в центральных регионах. В XIX веке носители Медюты были преимущественно крестьянами или мещанами, что типично для фамилий, образованных от прозвищ, а не от имен святых или знатных родов.

Версия о связи с диалектным словом «медведь» (через «мед-» или «медя») маловероятна: слишком далеко по звучанию, и нет ни одного устойчивого варианта «медюта» в значении «медвежонок» или «медвежий». Также не стоит путать фамилию с однокоренной Медведь или Медведев — у них другая основа и другая история. Медюта стоит особняком, и её происхождение лежит именно в диалектной лексике, а не в животном мире.