Фамилия Медзюта — редкий случай, когда географическая привязка почти полностью проясняет происхождение, а попытки найти славянский корень заводят в тупик. Если вы встретили эту фамилию, велика вероятность, что её носители родом с запада современной Беларуси или из приграничных районов Польши и Литвы. Основа здесь — не славянское прозвище, а балтское (скорее всего, литовское или жемайтское) слово medis — «дерево» или medus — «мёд». Фамилия образована по типичной для белорусско-литовского пограничья модели с суффиксом -юта (ср. Гедзюта, Будзюта, Ясюта). Этот суффикс в славянской адаптации часто передавал литовские фамилии на -utis, указывая на принадлежность или уменьшительность.

Спор о значении корня решается в пользу «дерева». Версия с «мёдом» (Мед-зюта как «сладкий» или «пчеловод») соблазнительна, но ономастически слабее: в балтских языках производные от medus обычно дают фамилии с другим суффиксом (Мядутис, Меденис). А вот прозвище Медзюта — «деревце», «лесной человек» — легко могло закрепиться за жителем лесной глуши, лесорубом или плотником. Поскольку фамилия фиксируется в основном на территории бывшего Великого княжества Литовского, её носители, скорее всего, относились к крестьянскому или однодворческому сословию — шляхта с такой «простой» основой встречалась редко.

В русском языке фамилия выглядит как безусловный полонизм или белорусизм: буквосочетание «дзь» (мягкое «дз») — характерный признак западнорусских говоров и польской орфографии. В документах XIX века Медзюту могли записать и как Медзюто, и как Медзют (без окончания), а при русификации иногда превращали в Медзютов или Медзютин, но исходная форма сохранилась лучше. Если ваши предки — Медзюты, ищите корни в Гродненской, Виленской или Минской губерниях: там фамилия встречается до сих пор, хоть и остаётся очень редкой (по разным оценкам, не более пары сотен носителей на всю Россию и Беларусь).