Фамилия Менгелишева — редкий случай, когда основа не славянская, а тюркская, а суффикс — русский, причём не самый распространённый. Разберёмся по порядку.

В основе фамилии лежит мужское имя или прозвище Менгелиш. Это имя, скорее всего, восходит к тюркскому корню «менге» (или «мэнгу») — «вечный» или «вечность». В тюркских языках, особенно в татарском, башкирском, казахском, такие имена были распространены: они выражали пожелание долгой жизни или указывали на родовую связь с вечностью. Суффикс «-иш» в тюркских именах часто образует ласкательную или уменьшительную форму, так что Менгелиш можно перевести как «вечный» (в ласковом смысле) или «вечно живущий».

Фамилия образована по русской модели: к основе Менгелиш добавили суффикс «-ев» (в женском роде — «-ева»). Это типичный патронимический суффикс, означающий «сын Менгелиша». Обратите внимание: суффикс «-ев», а не «-ов» — он присоединяется к основам, оканчивающимся на мягкий согласный или шипящий. В данном случае «ш» — шипящий, поэтому «Менгелишев», а не «Менгелишов». Такая модель говорит о том, что фамилия оформилась в русской среде, вероятно, в среде крещёных татар или других тюркских народов, принявших православие.

Географически фамилия Менгелишева встречается в основном в Поволжье и на Урале — регионах, где веками жили татары и башкиры, а также в среде русских старообрядцев, которые иногда брали фамилии от тюркских прозвищ. Встречается она и в казахской среде, но там чаще пишется как Менгелишев (без «а» на конце). Женская форма на «-а» — это русское грамматическое окончание, указывающее на принадлежность к роду (дочь или жена Менгелишева).

Интересная деталь: в редких случаях фамилия может быть связана с именем Менгли (от монгольского «менгли» — «вечный»), но суффикс «-иш» в таком варианте нехарактерен. Поэтому версия с тюркским «менге» и уменьшительным «-иш» выглядит убедительнее. Споров вокруг этимологии почти нет — корень прозрачный для ономастов, работающих с тюркским материалом.

Таким образом, предки носительницы фамилии Менгелишева — скорее всего, тюркоязычные люди (татары, башкиры или казахи), получившие русскую фамилию по имени родоначальника, которого звали Менгелиш. Они могли быть крестьянами, ремесленниками или служилыми людьми — точных данных о сословии нет, но фамилия не дворянская, а народная, что типично для патронимических форм.