Фамилия Мензорова почти наверняка — поздний вариант написания фамилии Мензуров, и разница здесь не смысловая, а фонетическая. В безударной позиции звуки «у» и «о» слышатся одинаково, поэтому при оформлении документов или переписи населения букву легко могли заменить. Так что искать корень нужно в прозвище Мензур, от которого и пошли обе фамилии.

Слово «мензур» в русском языке прижилось в узкой профессиональной среде — так называли расчётные данные для определения размерных величин источника звука в музыкальных инструментах. Проще говоря, мензура определяет, какой длины и толщины должна быть струна или труба, чтобы извлечь нужную ноту. Прозвище Мензур могли дать человеку, который прекрасно разбирался в этих расчётах: мастеру, изготовлявшему инструменты, настройщику или музыканту, знающему акустику не понаслышке. В этом случае предок Мензоровых был ремесленником высокой квалификации, возможно, работавшим при церкви или в городском цехе.

Есть и вторая версия, более экзотическая. В византийской традиции мензором называли специалиста по разбивке лагерей и строительству укреплений — фигуру, близкую к военному инженеру или фортификатору. Если придерживаться этой гипотезы, прозвище Мензур получил человек, который умел точно рассчитать план крепости, ров и вал. Однако эта версия выглядит менее убедительной: византийский термин вряд ли широко бытовал в русской деревне, где фамилии закреплялись в основном за крестьянами и посадскими людьми. Музыкальная мензура, напротив, слово живое, употреблявшееся в обиходе мастеровых.

Суффикс -ов в окончании указывает на классическую русскую патронимическую модель: Мензорова — это «дочь или жена человека по прозвищу Мензур». Фамилия не дворянская и не географическая, она из числа тех, что возникали в среде ремесленников и горожан. Поскольку письменных источников по такой редкой фамилии мало, уверенно утверждать, какая из версий верна, нельзя. Но если выбирать, то связь с музыкальными инструментами правдоподобнее: она объясняет и живое происхождение прозвища, и его профессиональный характер.