Фамилия Мичкивская — довольно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно разобрать её по частям, и ключ здесь — не в корне, а в суффиксе и окончании.

Основа фамилии — «Мичк-». Сразу бросается в глаза характерный украинский или польский суффикс «-ив-» (в русской передаче часто «-ов-»), который образует притяжательные формы. То есть Мичкивский (а Мичкивская — женский вариант) — это тот, кто происходит от человека по имени или прозвищу Мичко. Само имя Мичко — это уменьшительная форма от полного имени, скорее всего, от Дмитрий (через народные варианты Митро, Митька, Мичко) или, реже, от Михаил (Миха, Мичка). В украинской и польской традициях такие усечённые формы были обычным делом: от Дмитрия легко получалось Мичко, а от него — «сын Мичка», то есть Мичкивский.

Фамилии на «-ский» в этой среде часто указывали на шляхетское или, по крайней мере, землевладельческое происхождение, но не обязательно. В XIX веке такие окончания массово присваивались крестьянам при переписях, особенно на западе Российской империи, в Подолье, Волыни, Галичине. Поэтому Мичкивская — фамилия с чёткой географической привязкой: её носители почти наверняка родом из западных областей современной Украины или юго-восточной Польши.

Спорных версий тут немного. Можно было бы предположить корень «мичк-» от слова «мичка» (в некоторых говорах — шапка, колпак), но это маловероятно: прозвище «Мичка» в значении «шапка» встречается, но фамилии от него образовывались бы как Мичкин, а не Мичкивский. Форма с суффиксом «-ив-» однозначно указывает на личное имя, а не на предмет.

Итак, если вы носите фамилию Мичкивская, ваши предки, скорее всего, были выходцами с территории исторической Галиции или Волыни, а родоначальником был человек по имени Мичко — уменьшительное от Дмитрий. Фамилия эта — не древняя аристократическая, а типичная поздняя фамилия крестьян или мелкой шляхты, закрепившаяся в документах в XIX веке.