Фамилия Мичковская — женская форма, образованная от мужской фамилии Мичковский, а та, в свою очередь, — по типичной для восточноевропейских фамилий модели с суффиксом -ский. Этот суффикс указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но в XIX веке по такой модели массово образовывали фамилии и крестьянам, и мещанам, особенно в западных губерниях Российской империи. Так что Мичковские могли быть и потомками польской шляхты, и выходцами из крестьян, получившими фамилию по названию деревни или по прозвищу.

Основа фамилии — Мичко. Это либо уменьшительная форма от имени Михаил (через народные варианты Михей, Миша, Мичко), либо от имени Дмитрий (в белорусском и украинском просторечии Дмитра — Митра, Мичко). В любом случае, корень восходит к христианскому имени, популярному на всей территории расселения восточных славян. Реже Мичком могли прозвать человека по какой-то черте — например, от диалектного «мичкать» (медлить, мешкать), но эта версия менее убедительна: прозвища на -ко чаще образуются от имён.

Географически фамилия Мичковский наиболее характерна для западных регионов: Беларуси, Украины, восточной Польши. В России она встречается реже, обычно как след переселения из этих земель. Топонимическая версия тоже возможна: на карте Беларуси есть несколько небольших местечек с корнем Мич- (например, Мички, Мичковичи), жители которых могли получить фамилию по месту выхода.

Окончание -ая в женской форме (Мичковская) — не редкость для русской традиции: так оформляли фамилии жён и дочерей, особенно в документах XIX — начала XX века. В современных паспортах женщина может носить как форму Мичковская, так и мужскую Мичковский, в зависимости от решения при регистрации.

Словообразовательный разбор прост: корень Мич-, суффикс -ов- (притяжательный, указывающий на принадлежность к роду Мичка), суффикс -ск- (топонимический или сословный) и окончание -ая. Фамилия звучит на слух как польская или западнорусская, что подтверждается и историей бытования.