Фамилия Мичкасская — редкая и географически привязанная: её основа почти наверняка связана с названием населённого пункта. Вероятнее всего, речь идёт о топонимах Мичкас или Мичкассы, которые встречаются в Пензенской области и Мордовии. Например, в Нижнеломовском районе есть село Мичкассы, а в Земетчинском — речка Мичкас. Фамилия образована по типичной для дворянских и духовных родов модели: название места плюс суффикс -ск- и окончание -ая, то есть «из Мичкас» или «мичкасская». Такие фамилии часто давали переселенцам, которые перебирались в другие края и получали прозвание по прежнему месту жительства.

Корень «мичкас» — не славянский, а, скорее всего, финно-угорский. В мордовских языках (эрзянском и мокшанском) слово «мича» может означать «медведь» или быть частью сложного имени. Есть версия, что Мичкас — это искажённое «Мичкасс» от «миче касы» — «красиво растущий» (о лесе или траве), но точного перевода нет. В любом случае, основа древняя, дославянская, и фамилия фиксирует контакт русского населения с местными народами Поволжья.

Обратите внимание на окончание -ая. В русских фамилиях оно характерно для женского варианта (Мичкасская — жена Мичкасского), но может быть и исходной формой, если фамилия закрепилась в документах в женском роде. Чаще всего так бывало у крестьян или мещан, когда переписчики записывали семью по главе-женщине. Однако суффикс -ск- указывает на более высокое сословие: такие фамилии в XVIII-XIX веках носили дворяне, священники и чиновники. Поэтому не исключено, что Мичкасские — потомки обедневшего дворянского рода или духовенства, которое получило фамилию по месту службы.

Спорных версий немного. Можно предположить, что основа — прозвище Мичка (от имени Михаил или от диалектного «мичкать» — мять, месить), но тогда фамилия была бы Мичкин или Мичков. Суффикс -ск- почти всегда указывает на топоним, поэтому версия с рекой или селом — основная. Сравните с однокоренными фамилиями: Мичкасов, Мичкасский (мужской вариант), Мичкасова — все они редки и сконцентрированы в Пензенской, Тамбовской и Рязанской областях.

Если ваши предки носили фамилию Мичкасская, ищите их в метрических книгах сёл Мичкас или Мичкассы. Скорее всего, они были либо местными жителями, переехавшими в город, либо потомками священников, служивших в тамошних храмах. Фамилия не получила широкого распространения — это не ошибка, а признак узкой локальной истории.