Фамилия Миненкои — редкий случай, когда написание подсказывает происхождение. Окончание на -ой, а не на более привычное -ов или -ин, прямо указывает на южнорусские или украинские корни. В русском языке такая модель фамилий (с ударным окончанием -ой) характерна для донских и кубанских казаков, а также для выходцев из чернозёмных областей. Если бы фамилия была «Миненко», она бы однозначно относилась к украинской модели на -енко, означающей «сын» или «потомок». Форма Миненкои — это русифицированный вариант той же украинской фамилии, которую в документах записали с типичным для русского языка окончанием прилагательного.

Основа фамилии — имя или прозвище Миненко, которое, в свою очередь, происходит от имени Миня. Это уменьшительная форма от крестильных имён Мина (древнегреческое «месяц») или, что вероятнее, от Дмитрий (греческое «посвящённый Деметре»). В народной речи имя Дмитрий сокращалось до Митя, а затем и до Миня. Суффикс -енко в исходной форме Миненко означает «маленький Митя» или «сын Мити». Таким образом, Миненкои — это «тот, кто из рода Миненко», то есть потомок человека по имени Миня (Дмитрий).

Географически фамилия в форме Миненкои встречается крайне редко. В основном она фиксируется в Краснодарском крае и Ростовской области — на территориях бывшего казачьего войска. Это подтверждает версию о том, что фамилия образовалась при адаптации украинской фамилии в русской среде: переселенцы с Украины, попадая в казачью среду, получали в документах окончание -ой вместо -о. Носители фамилии Миненкои, скорее всего, потомки запорожских или черноморских казаков, которые обосновались на Кубани в конце XVIII — начале XIX века.

С точки зрения словообразования, фамилия прошла двойную трансформацию: сначала от имени Миня через патронимический суффикс -енко (Миненко), затем через адъективный суффикс -ой, превративший фамилию из существительного в прилагательное. Это отличает её от более распространённых однокоренных фамилий Миненко, Миненков и Минин. Последняя, кстати, образована по той же модели, но с другим суффиксом (-ин), и тоже означает «сын Мини». Однако Миненкои — самая редкая и локально привязанная форма.

Таким образом, если вы носите фамилию Миненкои, ваши предки, с высокой долей вероятности, были казаками с Кубани или Дона, а их родоначальника звали Миней — скорее всего, Дмитрием. Фамилия сохранила в себе следы языкового смешения: украинскую уменьшительную форму имени и русское падежное окончание.