Фамилия Минсагирова — женская форма, мужской вариант — Минсагиров. Это одна из тех фамилий, в которых хорошо читается не просто прозвище, а целая жизненная установка предка. Основа здесь арабско-персидская, пришедшая вместе с исламом в тюркскую среду, а суффикс — типично русский, что и дало современное звучание.

Разбираем слово по частям. Корень составной: «Мин» (араб. «мин» — «из, от») плюс «сагир» (араб. «сагир» — «маленький, младший, несовершеннолетний»). Вместе «Минсагир» означает «из малых» или «от младшего». В мусульманском именослове так могли назвать младшего сына, чтобы подчеркнуть его положение в семье, либо дать ребёнку имя-оберег, скрывающее его от сглаза (мол, не великий человек, а малый — и беды обойдут стороной). Это не фамилия в привычном для нас смысле, а личное имя Минсагир, которое в XIX–XX веках закрепилось как родовое.

Суффикс «-ов» (в женской форме «-ова») указывает на русскую модель образования фамилий: «чей?» — «Минсагиров», то есть потомок человека по имени Минсагир. Такая схема — имя + русский патронимический суффикс — характерна для татар, башкир, части кавказских народов, которые входили в состав Российской империи и получали фамилии по документам при переписях или рекрутских наборах. Если бы фамилия осталась в чисто тюркской форме, она звучала бы как Минсагир улы (сын Минсагира) или Минсагир кызы (дочь Минсагира).

Географически фамилия Минсагирова распространена в Татарстане, Башкортостане, а также в Оренбургской и Челябинской областях — то есть в регионах, где исторически жили волжские татары и башкиры. Встречается она нечасто, что говорит о её происхождении от конкретного, а не массового имени. В отличие от фамилий, образованных от профессий (Кузнецов) или внешности (Белов), Минсагирова — чисто именная, и её носители, скорее всего, потомки человека, которого в деревне знали как Минсагира — младшего сына, названного так с надеждой на лёгкую судьбу.

Есть и вторая, менее вероятная версия: что «Мин» — это не предлог, а часть тюркского слова «мин» (тысяча, множество). Тогда «Минсагир» можно прочитать как «тысяча малых» или «множество младших», но лингвистически это натяжка: в арабских заимствованиях «мин» в начале имени почти всегда означает «из». Так что первая трактовка — основная.