Фамилия Миютова — женская форма от Миютов, и её разумнее всего разбирать вместе с мужским вариантом. Основа здесь неочевидная, и именно это делает фамилию интересной для этимолога.

Вероятнее всего, в основе лежит прозвище или мирское имя Мютя. Это уменьшительная форма от одного из древнерусских имён, начинающихся на Мит-: Дмитрий (в народной речи — Митя, Митюха, Митюня) или, реже, Мина, Миней. Переход «Митюта» в «Мютюта» — дело говора: в некоторых русских диалектах, особенно северных и владимирских, безударное «и» редуцировалось или выпадало, а «т» перед «ю» смягчалось. Так Митюта (от Митя + суффикс -ут(а), обозначающий ласкательность или принадлежность) превращался в Мютю, а далее — в фамилию Миютов. Суффикс -ов указывает на принадлежность: Миютов — сын Миюта, то есть потомок человека с таким прозвищем.

Есть и другая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование: связь с диалектным глаголом «миютить» или «мютить» (мутить, мешать, сбивать с толку). В рязанских и тамбовских говорах «мюта» — это путаник, нерасторопный человек. Если так, то Миютов — потомок того, кого прозвали Мютой за неловкость или склонность к путанице. Однако эта гипотеза слабее: глагол редок, а имя Дмитрий было настолько популярно, что его производные дали десятки фамилий (Митюков, Митюшин, Митяев, Митин), и Миютов органично вписывается в этот ряд.

Географически фамилия встречается нечасто, но заметна в центральных областях России — в Тверской, Ярославской, Костромской губерниях, где говоры как раз допускали стяжение гласных. Встречается и на Урале, куда переселенцы из этих мест принесли свою фамилию. Сословного барьера у неё не было: Миютовыми могли быть и крестьяне, и мещане, и священники (в духовном сословии фамилии часто образовывали от имён, а не от прозвищ).

Коротко: Миютов — это, скорее всего, «сын Миюта», а Миют — народная форма от Дмитрий. Фамилия редкая, но её происхождение прозрачно, если знать особенности русской диалектной фонетики.