Фамилия Мулеева образована от мужской формы Мулеев, а та — от прозвища или имени Мулей. Основа здесь неочевидна на первый взгляд, и разобраться с ней помогает суффикс -ей, который в русских фамилиях встречается реже, чем -ов или -ин. Этот суффикс характерен для прозвищно-именной модели: он мог присоединяться к основе в значении уменьшительности, ласкательности или принадлежности (ср. Копей — от копать, Дубей — от дуб). Значит, Мулей — это человек, которого так называли по какому-то яркому признаку или действию.

Самая вероятная версия — связь с тюркским корнем. В тюркских языках слово «мулла» (molla, mulla) означает духовное лицо, учителя или грамотея. В русских говорах, особенно в Поволжье и на Урале, это слово переделали в «мулей» — так могли называть татарского священника, начётчика или просто человека, который носил бороду и напоминал муллу внешне. Фамилия Мулеев (и Мулеева) распространена именно в татарской и башкирской среде, а также среди русских, живших по соседству с тюркскими народами. В таком случае основа — прозвище по роду занятий или внешности, а суффикс -ев просто русифицировал фамилию.

Есть и другая, менее вероятная версия: от глагола «мулить» — в некоторых диалектах это значит «тереть», «натирать», «докучать». Тогда Мулей — человек, который постоянно «мулит», то есть надоедает или трется рядом. Но эта гипотеза слабее, потому что глагол редкий, а фамилия географически привязана к регионам, где сильны тюркские влияния. Словарь Б. Унбегауна указывает, что фамилии на -ей часто имеют иноязычные корни, что подтверждает первую версию.

Исторически носители фамилии Мулеевы могли быть крестьянами или мещанами, но точных сведений о сословной принадлежности нет. Встречается фамилия в Татарстане, Башкортостане, Челябинской и Оренбургской областях — это ещё один аргумент в пользу тюркского происхождения. Если ваш предок был Мулеем, он, скорее всего, был либо грамотным человеком при мечети, либо получил прозвище за сходство с муллой.