Фамилия Мулягина образована от прозвища Муляга, и корень здесь — глагол «мулить». В народной речи этот глагол имел два основных значения, которые и определили смысл прозвища. Первое — «медленно говорить», «тянуть». В этом случае Мулягой называли человека неторопливого, вдумчивого, возможно, даже несколько флегматичного, который не любил спешить ни в словах, ни в делах. Второе значение — «болтать, надоедать», «докучать». Здесь прозвище приобретало противоположный оттенок: так могли окрестить словоохотливого, общительного, но иногда и навязчивого собеседника.

Модель образования фамилии проста и характерна для русского быта: к основе Муляг- добавили типичный «семейный» суффикс -ин, который указывает на принадлежность роду. Первоначально форма Мулягина означала «дочь (или жена) Муляги», а затем закрепилась как наследственное семейное имя. Такая модель с суффиксом -ин чаще встречается в северорусских и поволжских говорах, что косвенно указывает на возможную географию происхождения фамилии — эти регионы и были основным ареалом бытования глагола «мулить» в его диалектных значениях.

Любопытно, что прозвище Муляга не образовано от имени или профессии, а напрямую отражает личную черту характера. В старину такие прозвища приживались особенно легко: их давали не для официального учета, а для того, чтобы быстро и точно обозначить человека в общине. Если прозвище оказывалось метким, оно переживало своего носителя и переходило к детям. Так и потомки человека по прозвищу Муляга со временем стали писаться Мулягиными.

В отличие от многих фамилий, где можно спорить о происхождении, здесь версия с глаголом «мулить» выглядит практически бесспорной. Альтернативные объяснения, например связь с личным именем или заимствованием из другого языка, не находят подтверждения: слово «муляга» в русских говорах не встречается как самостоятельное имя, а звуковой облик фамилии слишком прозрачен. Поэтому можно уверенно говорить, что фамилия Мулягина — это память о живом слове, которым в старину очерчивали человеческий характер.