Фамилия Музаек — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Если отбросить случайные написания, её основа — «муза» — сразу наводит на мысль о древнегреческих покровительницах искусств. Но в русской ономастике прямые заимствования из античной мифологии в фамилиях почти не встречаются: это скорее кальки, семинарские фамилии или поздние литературные псевдонимы. В случае с Музаек версия с музами маловероятна — слишком простой и нехарактерный для XIX века суффикс «-ек».

Гораздо убедительнее тюркский след. В тюркских языках (особенно в татарском, башкирском, казахском) есть корень «муза» или «музай», который может восходить к арабскому «музаффар» — «победоносный», «одерживающий верх». В разговорной речи это имя или прозвище легко сокращалось до Музай, а уменьшительная форма с суффиксом «-ек» (Музаек) дала фамилию. По такой же модели образованы, например, татарские фамилии Музаев, Музафаров, Музагитов.

Суффикс «-ек» в русских фамилиях — редкость. Обычно он встречается в украинской и белорусской традиции (как уменьшительный), но в тюркской среде его могли принять как адаптацию при переходе в русское делопроизводство. То есть предок носителя фамилии мог зваться Музаем, а его сына в документах записали как «Музаек» — по аналогии с тем, как Степан становился Степанком, а Иван — Иванком.

Географически фамилия Музаек тяготеет к регионам с татарским и башкирским населением: Татарстан, Башкортостан, Оренбуржье. Встречается она редко — это штучная, локальная фамилия, не разошедшаяся широко по стране. Сословно её носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами, не имевшими дворянского статуса: фамилия не содержит княжеских или боярских суффиксов (как «-ский» или «-ович»).

Итог: Музаек — фамилия тюркского происхождения, образованная от личного имени или прозвища Музай (сокращение от Музаффар) с помощью уменьшительного суффикса «-ек». Она указывает на предка, которого звали «победоносным» или «удачливым», и закрепилась в русской записи как редкий пример адаптации тюркского имени.