Фамилия Мялявка на первый взгляд кажется одной из тех, что образованы от прозвища, связанного с речью или характером. В её основе лежит глагол «мялявкать» — диалектное слово, распространённое в юго-западных говорах (белорусских, украинских, а также в смоленских и брянских). Оно означает «говорить невнятно, мямлить, тянуть слова». Соответственно, Мялявкой в народе могли прозвать человека с медленной, неразборчивой речью или того, кто постоянно ныл, жаловался на жизнь (оттенок значения — «нытик»).

Модель образования здесь простая и характерная для восточнославянских фамилий: прозвище на -ка перешло в фамилию без изменений, то есть Мялявка — это непатронимическая фамилия (не от имени отца), а прямая запись прозвища. Такие фамилии особенно часты в Беларуси и на западе России, где суффикс -ка в прозвищах и фамилиях встречается куда чаще, чем в центральных областях. Если бы фамилия оформлялась по великорусской модели, мы бы увидели Мялявкин или Мялявков — но этого не произошло, что указывает на конкретный регион бытования.

В словарях русских говоров (например, в «Словаре русских народных говоров») слово «мялявка» фиксируется именно с таким значением. Интересно, что существует и однокоренное «мялявый» — вялый, слабый, хилый человек. Это даёт вторую, менее вероятную, но возможную версию: прозвище могли дать не за манеру говорить, а за медлительность и пассивность в делах. Однако первичное значение, связанное с речью, надёжнее: глагольная основа «мялявкать» прямо указывает на звукоподражательный корень (ср. «мямлить», «мякать»).

Фамилия редкая. В современных базах данных она встречается точечно, преимущественно в Гомельской и Могилёвской областях Беларуси, а также в приграничных районах Брянской и Смоленской областей России. Это подтверждает её диалектное происхождение: она не вышла за пределы ареала бытования говора, в котором это слово было в ходу.

С точки зрения социальной истории, носители фамилии Мялявка — это, скорее всего, крестьяне или мещане. Фамилии на -ка без патронимического суффикса редко встречаются у дворянства, которое предпочитало формы на -ов/-ев или -ский. Поэтому предок-родоначальник, получивший такое прозвище, вероятно, был простым человеком, а его необычная речевая манера или характер запомнились окружающим настолько, что закрепились в фамилии на поколения вперёд.