Фамилия Набойчиков происходит от прозвища Набойщик — так на Руси называли мастера по набивке тканей. Чередование согласных ч и щ в основе — не ошибка и не искажение, а естественный результат исторических звуковых процессов в языке: из одного корня получились и «набойщик», и «набойчик», а фамилия закрепилась во второй форме.

Набойное дело в Древней Руси известно с IX–X веков. Славяне издавна выращивали лён, ткали холсты и полотна, а затем украшали их цветным узором. Сам процесс набойки выглядел просто только со стороны. В просторной светлой горнице на большом столе раскладывали полотно, рядом стоял стол поменьше с резными деревянными досками, повёрнутыми рисунком вверх. Краску размазывали щёткой по толстому войлоку, пропитанному в металлическом ящике. Мастер прижимал резную сторону доски к краске, накладывал её на размеченную ткань и пристукивал кулаком или деревянной колотушкой — чокмарем. Готовую ткань перекидывали через жерди-вешала для просушки. В хозяйстве набойщика были и орудия для растирания и смешивания красок, и котлы для их заваривания.

Ремесло требовало сноровки, точного глаза и терпения: рисунок должен ложиться ровно, без смещений и пропусков. Секреты мастерства и оборудование передавали от отца к сыну, так что прозвище Набойщик легко закреплялось за целым родом. Потомки такого мастера со временем стали носить фамилию Набойчиков — по обычной для русских фамилий модели: прозвище отца превращалось в фамилию сына с суффиксом -ов.

Интересно, что фамилия сохранила именно форму с ч, хотя название профессии в литературном языке закрепилось с щ. Это говорит о том, что прозвище возникло в живой народной речи и записывалось так, как звучало в говоре. Подобные варианты встречаются и в других фамилиях от названий ремёсел, но Набойчиков — один из ярких примеров того, как орфография профессии и фамилии разошлись.