Фамилия Надашкич звучит нехарактерно для русской среды, и это первое, что бросается в глаза. Суффикс -ич, как правило, указывает на отчество, но в восточнославянской традиции он закрепился в основном у белорусов, поляков и южных славян. Однако в русском языке фамилии на -ич встречаются редко и чаще всего имеют книжное или семинарское происхождение — их давали в духовных училищах. В случае с Надашкич мы, скорее всего, имеем дело с фамилией польского, белорусского или украинского происхождения, где суффикс -ич является типичным патронимическим показателем («сын такого-то»).

Основа фамилии — Надашк-. Это может быть производное от имени или прозвища. Самый вероятный вариант: в основе лежит имя Надаш, которое является народной формой крестильного имени Анастасий (от греческого «анастасис» — воскресение). В польском и белорусском языках имя Анастасий сокращалось до Настас, Насташ, а затем и до Надаш (с характерной заменой «с» на «д» в просторечии). Соответственно, Надашкич — это «сын Надаша». Менее вероятна, но возможна связь с южнославянскими корнями: например, в сербскохорватском языке слово «нада» означает «надежда», и фамилия могла образоваться от личного имени Нада или прозвища Надаш (тот, кто дарит надежду).

География фамилии подтверждает её западнославянские корни. В современных российских базах данных Надашкич встречается крайне редко, единичные носители зафиксированы в Беларуси и на Украине. В Польше фамилия Nadaszkiwicz (или Nadaszkiewicz) существует, но тоже не массовая. Это указывает на то, что фамилия никогда не была широко распространена и, вероятно, происходит из конкретного местечка или рода. По сословной принадлежности предки Надашкичей могли быть как шляхтой (в Речи Посполитой патронимические фамилии на -ич часто носили мелкие дворяне), так и крестьянами, получившими фамилию по имени отца при переписях.

Особенность написания — мягкий знак перед -ич — не типична для русской орфографии (сравните: Иванович, а не Ивановичь). Здесь, скорее всего, сказывается влияние польской или белорусской фонетики, где шипящие смягчаются. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в западных губерниях Российской империи — Гродненской, Минской или Волынской.