Фамилия Надгольный — редкий случай, когда географическая основа почти наверняка перевешивает прозвищную. Корень здесь — «гол», но не в значении «бедность» или «нагота», а в значении «голый, открытый, лишённый растительности». Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от названия населённого пункта: хутора, села или урочища Нагольный, Нагольное, которых немало на юге России и востоке Украины — в Ростовской, Воронежской, Харьковской, Луганской областях. Топоним «Нагольный» указывал на безлесное, степное место, где не росло ничего, кроме травы.

Форма Надгольный — результат фонетического изменения приставки. В русских говорах «нагольный» могло звучать как «надгольный» под влиянием предлога «над» (над голой землёй) или из-за ассимиляции согласных. Суффикс -н- здесь — типичный признак прилагательного, которое стало фамилией: «человек из Нагольного». Модель образования простая: топоним на -ный → фамилия на -ый. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые фиксируют принадлежность (чей?), Надгольный отвечает на вопрос «какой?» и прямо указывает на место жительства или происхождения.

В ономастике такие фамилии называют «топонимическими». Их носителями в XIX веке чаще всего были крестьяне или казаки, переселившиеся из одного села в другое и получившие прозвище по прежнему месту жительства. Учитывая ареал бытования фамилии, предки Надгольных с высокой вероятностью были государственными крестьянами южнорусских губерний или донскими казаками. У казаков прозвища по хуторам были особенно распространены — так закреплялась малая родина.

Встречается написание и через «а» — Нагольный, и через «о» — Ногольный, но форма с «д» — самая редкая и наиболее искажённая. Если вы носите фамилию Надгольный, ваши предки, скорее всего, жили в степи, на открытом возвышенном месте, которое в народе называли «нагольным» — то есть голым, не заросшим лесом.