Фамилия Наваждай — один из тех редких случаев, когда написание и произношение почти не скрывают исходного слова. В основе лежит глагол «наваждать», который в старорусском языке означал «наговаривать, клеветать, наводить напраслину» или «искушать, соблазнять». Человек, получивший такое прозвище, скорее всего, был известен как смутьян, спорщик или тот, кто «наводит наваждение» — вводит в заблуждение, морочит голову. В некоторых говорах «наваждай» могло быть ироничным именем для хитрого или болтливого человека.

Словообразовательная модель фамилии нестандартна. В русской ономастике фамилии на -ай обычно образуются от глагольных форм повелительного наклонения (как Терпигорев, Убейкобыла) или от прозвищ-характеристик. Здесь же мы видим чистую глагольную основу без типичного фамильного суффикса (-ов, -ин, -ский). Такая модель встречается редко и характерна для украинской или южнорусской традиции, где прозвища могли переходить в фамилии без изменений. В украинском языке «наважай» (от «наважати» — уважать, ценить) звучит иначе, но под влиянием русского произношения могло закрепиться написание «Наваждай» с «д».

Географически фамилия тяготеет к западным и южным областям бывшей Российской империи. В дореволюционных метрических книгах единичные носители встречаются в Черниговской, Полтавской и Харьковской губерниях. Встречается вариант написания «Наважай» — без буквы «д», что может указывать на разное происхождение: от украинского «наважати» (уважать) или как результат упрощения произношения. Однако вариант с «д» этимологически прозрачнее и ближе к русскому «наваждать».

По социальному составу носители фамилии Наваждай, судя по скудным архивным данным, были в основном крестьянами и мещанами. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В советское время фамилия почти исчезла из-за своей неблагозвучности для носителя — значение «клеветник» вряд ли прибавляло популярности. Сейчас это одна из редчайших русских фамилий, которую можно встретить буквально у нескольких семей в России и на Украине.