Фамилия Навошина — женская форма фамилии Навошин, а её основа, скорее всего, связана с прозвищем или профессией. Разберёмся по порядку.

Корень «навош-» отчётливо отсылает к глаголу «навощить» — то есть натереть воском, придать блеск. В старину вощение было обычным делом: так обрабатывали деревянную мебель, полы, ткани, даже нитки для шитья. Человек, который этим занимался, мог получить прозвище Навоша — «тот, кто навощил» или «мастер по вощению». Фамилии на -ин образуются от основ, оканчивающихся на -а/-я, так что Навошин — буквально «сын или потомок Навоши».

Менее вероятна, но возможна связь с топонимом. В некоторых регионах России встречаются названия населённых пунктов вроде Навошино или Навошня. Тогда фамилия могла возникнуть по месту жительства: переселенец из такой деревни становился Навошиным.

Суффикс -ин — один из самых распространённых в русских фамилиях, он указывает на принадлежность. В данном случае он не несёт дополнительной смысловой нагрузки, кроме патронимической или прозвищной. Географически фамилия редкая, её очаги можно искать в центральных и северных областях России, где было развито ремесло вощения.

Версия с «наворачиванием» или «навиванием» маловероятна: звуковой переход от «в» к «ш» здесь необъясним, а «вош» в корне наводит скорее на воск, чем на что-то иное. Таким образом, наиболее правдоподобное объяснение — ремесленная основа: предок носителя фамилии был вощильщиком или имел отношение к обработке воском.